5 копеек=50 копеек

[Abstraction]

Я, конечно, не помню о том, что там опровергался факт вложенности множеств (в частности множества R в C), но, если предположить, что это верно, то как тогда изучать дисциплину по разным учебникам, если в них утверждается истинность диаметрально противоположных вещей?

Есть некоторая вольность речи, для того, чтобы каждый раз при переходе от вещественных к комплексным не выставлять трёхэтажную словесную конструкцию. Достаточно часто, если множества изоморфны и изоморфизм сохраняет все интересующие нас в данный момент соотношения, как говорится, допуская вольность речи и в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, изоморфные элементы называют равными. С практической точки зрения, это вполне работает. С точки зрения строгой теории же, про допущение такой вольности необходимо помнить. То, что это разные множества, вполне очевидно из их определений - это же "яблоки" и "груши", хотя некоторые груши очень похожи на яблоки.

Abstraction, напишите об этом в Википедию, пусть они у себя исправят

ОК, отправил предложение правки.

Очевидно нет, так как там над всеми стандартными типами чисел разрешены операции как над комплексными числами. И над целыми тоже.

И? С практической точки зрения, такой фокус делать можно (фактически опуская операторы взятия действительной/целой части). С точки зрения теории множеств, эти операторы там тем не менее есть.

[Utkin]

Abstraction, Вы в самом деле не понимаете или прикидываетесь - Вы всегда соглашаетесь с оппонентом, при этом продолжая нести свои идеи дальше . Уже как-то определитесь. Операции разрешены потому что в стандарте R5RS (в англоязычном) на Шеме черным по монитору написано, что целые это подмножество действительных, а действительные подмножество комплексных. И исходя из данных постулатов и реализована арифметика языка Scheme.
Таким образом целые являются действительными, а действительные являются комплексными числами.

[Abstraction]

Операции разрешены потому что в стандарте R5RS (в англоязычном) на Шеме черным по монитору написано, что целые это подмножество действительных, а действительные подмножество комплексных.

В определении "подмножества" из теории множеств, это утверждение ложно. Доказательство - любая книга по теории множеств, в которой приведено определение подмножества множества, наделённого некоторой структурой, плюс определения множеств действительных и комплексных чисел.
Если действительно так и написано, то это, по меньшей мере, странно.

[Utkin]

Множество A является подмножеством множества B, если любой элемент, принадлежащий A, также принадлежит B.

М-м-м, либо это параллельная вселенная либо Вы тролль. Объясните, где я ошибаюсь?
Если множество А есть действительные числа, а В есть комплексные, то действительные это подмножество комплексных. Или где-то я что-то упустил? Давайте пойдем от противного - назовите мне действительное число которое не является комплексным. Конкретное число - не надо растекаться мыслью по дереву знаний .

[Abstraction]

Конкретное действительное число 0.
Берём (одно из эквивалентных) определений R: множество бесконечных десятичных дробей, не содержащих бесконечных хвостов девяток. (С введёнными на нём операциями +, * и отношением <)
Берём действительное число "0.(0)".
Берём (одно из эквивалентных) определений C: множество упорядоченных пар действительных чисел. (С введёнными на нём операциями +, *)
Берём комплексное число "(0.(0), 0.(0))".
Сравниваем записи, находим десять отличий. Пытаемся в так определённом множестве комплексных чисел найти хоть один элемент "0.(0)".

[Utkin]

Конкретное число 0 не эквивалентно, а есть 0+0i. То есть запись (0. 0). Аргументируйте почему это не так .

Зы. А что с определением множества и подмножества ?

[Abstraction]

Зы. А что с определением множества и подмножества ?

С определениями множества и подмножества есть та (уже неоднократно указанная) фундаментальная проблема, что подмножество имеет только ту структуру, которая индуцирована на нём операциями и отношениями базового множества. Однако при этом, ни одно подмножество C не имеет отношения порядка, потому что его нет на самом C.

Конкретное число 0 не эквивалентно, а есть 0+0i. То есть запись (0, 0). Аргументируйте почему это не так .

Есть один достаточно неприятный момент: 0 - это символ, наделённый некоторым значением. Поскольку сущностей в математике много больше, чем символов, практикуется повторное их использование; в частности, для любой группы с аддитивной записью операции нейтральный элемент обозначается как "0". В тех случаях, когда проводимые построения оперируют сразу несколькими группами, может потребоваться явно указывать, "от какой группы" тот или иной "0".
В каждом конкретном случае, сущность алгебры можно записать в виде знакосочетания, совпадение таких записей будет означать совпадение сущностей. К практическому использованию такая запись непригодна (скажем, один из самых простых объектов алгебры, кардинальное число 1, будет содержать несколько тысяч символов), но, в силу различий в такой записи термов R и C, различны будут и записи "нейтрального элемента по сложению в R" и "нейтрального элемента по сложению в C".

Другими словами, одним и тем же символом 0 в R и C обозначаются разные сущности. Такое совпадение происходит потому, что нотация, в которой бы совпадение обозначений означало бы совпадение обозначаемых объектов, была бы слишком громоздкой и непригодной к практическому использованию.

Если говорить о языках программирования, достаточно показателен оказывается C++ (а ещё лучше C#): можно написать double a=0; complex b=0; и при этом создадутся разные объекты.

[Utkin]

С определениями множества и подмножества есть та (уже неоднократно указанная) фундаментальная проблема, что подмножество имеет только ту структуру, которая индуцирована на нём операциями и отношениями базового множества. Однако при этом, ни одно подмножество C не имеет отношения порядка, потому что его нет на самом C.

Вы опять издеваетесь ? Отношения сравнения не применимы ко всем числам и это естественно. Хотите пример, того чего Вы требуете? Я по-русски,
а то может не всем понятно, что Вы написали ... Итак у нас есть например ботинки, которые как известно могут быть разных цветов, разных размеров. Теперь же Вы хотите сравнить левый ботинок сорок последнего растоптанного и правый 36-го. Или вы станете утверждать, что левые ботинки не подмножество ботинков? Хотя ответ как бы предсказуем... Таким макаром можно исключить нечетные числа из множества целых... Не делятся на два, а значит не имеют отношения порядка .

Есть один достаточно неприятный момент: 0 - это символ, наделённый некоторым значением.

Все ясно, мои подозрения оправдались. Мне не нужны Ваши измышления на тему математики.

0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, разделяющее на числовой прямой положительные и отрицательные числа.

Это Википедия. Опять напишите им, что они не правы?
Для остальных читателей поясню - Abstraction, обладает определенными знаниями, но при этом не разделяет традиционную точку зрения и изливает свои аргументы, выдавая их за обще принятые. По-русски - тонкий троллинг. Аргументы выше (да и в других темах также).
Уже само по себе:

Конкретное действительное число 0.

и дальнейшие размышления не приводящие к тому что нуль число (а символ) есть взаимоисключающие параграфы . Я конечно понимаю, что математика раздел логики, но в ней по-крайней мере правила известны наперед, а не придумываются по ходу обсуждения темы.
В принципе тему можно закрывать...

можно написать double a=0; complex b=0; и при этом создадутся разные объекты.

Неудачный пример, могу объяснить почему, но это уже отдельная история...

[Abstraction]

но при этом не разделяет традиционную точку зрения и изливает свои аргументы, выдавая их за общепринятые

Бурбаки, "Начала математики". Если уж Вам так важна ссылка на конкретные авторитеты.

Уже само по себе:

и дальнейшие размышления не приводящие к тому что нуль число (а символ) есть взаимоисключающие параграфы .

Извините, но я в этой теме достаточно внимательно слежу за своими словами. Как раз в предыдущем сообщении было пространное объяснение насчёт того, что говоря "0", может потребоваться отдельно указывать, из какого он множества. Словосочетание "действительное число 0" однозначно определяет алгебраический объект; просто "0", в общем случае, может порождать неоднозначность.

Да, я понимаю, что в большинстве практических приложений различия между различными объектами, обозначаемыми символом "0", являются несущественными. Однако с точки зрения строгой формальной алгебры заявление о тождественности всех таких объектов ложно.

P.S.

Таким макаром можно исключить нечетные числа из множества целых... Не делятся на два, а значит не имеют отношения порядка .

На множестве нечётных чисел определено отношение порядка, индуцированное на нём отношением на целых числах. 1 < 3.
P.P.S.

Это Википедия. Опять напишите им, что они не правы?

Обратите внимание на раздел "Other branches of mathematics" в англоязычной версии. Вики - энциклопедия общего назначения, а не математический трактат.

[Аватар]

Нужно Фихтенгольцу, Никольскому, Кудрявцеву и прочим авторам мат.анализа для вузов выговор объявить за то, что они нас не правильно учили