Тотализатор

[Niefer]

Эта задача относится скорее к комбинаторике, чем к Excel, но все-таки попробую выложить ее здесь...

Задача такая: я играю в тотализаторе, мне нужно угадать результат не менее 4-х игр из 6. То есть, каким-бы результатом ни закончились данные 6 игр, нужно угадать резултат не менее 4-х игр не менее в одном билете. Количество билетов не ограничено.

Вопрос: какое наименьшее количество билетов требуется для обеспечения вышеуказаной цели?

Я составил вариант из 25 билетов, но меня терзают смутные сомнения, что должен существовать вариант с 19 (или даже меньше) билетами.

А вот мои 25 билетов (выигрыш - "1", ничья - "x", проигрыш - "2"):

1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 x x x x x 2 2 2 2 2 x x x x x 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2
1 x x 2 2 1 x x 2 2 1 x x 2 2 1 x x 2 2 1 x x 2 2
1 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 x 2
1 2 x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2

Присутствие всех 6 игр в каждом билете не обязательно.

Кстати, не подскажете более подходящее для этого вопроса место в итернете - какой-нибудь математический форум?

[IgorGO]

результаты скольких игр записываются в одном билете?

[Niefer]

@IgorGO:
Нет ограничений, но логично записать в одном билете не менее 4-х игр (обязательно нужно угадать не менее 4-х в одном каком-нибудь билете) и не более 6 (зачем дополнителный риск - какой-то 7-й или 8-й неугаданный результат испортит весь билет).

В моем примере из 25 билетов (см. выше) в каждом из них записано по 6 игр.

[IgorGO]

условия не описаны, вопрос не понятен.

если вам необходимо угадать результат 1 игры: необходимо поставить на: победу (1), ничью (х) и поражение (2) - и вы угадали, четвертого варианта нет.
если необходимо угадать результат 2 игр поставьте на:
11, 1х, 12, х1, хх, х2, 21, 2х, 22 - итого 9 вариантов.
соотв. чтобы наверняка угадать результаты 4-х игр необходимо указать 81 вариант возможных комбинаций.
причем тут 4 из 6??? не понимаю...

[Niefer]

4 из 6-и вот причем:

вы правы, когда говорите что "чтобы наверняка угадать результаты 4-х игр необходимо указать 81 вариант возможных комбинаций." Но в моем распоряжении находятся 6 игр вместо 4-х, и я буду считатся выйгравшей стороной, если я угадаю результат любых 4-х из них, и не обязательно первих 4-х - любых 4-х. И для этого достаточно 25 билетов.

Возможно я что-то не так обясняю (я не математик и русский язык не родной), но возмите любую последовательность из 6 символов (допустими только 3 разных символа - 1, x, 2) и потом сравните вашу последовательность с моими 25 билетами - среди них вы найдете как минимум 1 билет, в котором 4 символа из ваших 6-и будут на своих местах. По-вашему для этого понадобились бы 729 билетов (3 в степени 6), но для моей цели хватает всего 25.

[IgorGO]

насколько я понял условия необходимо угадать не то, как закончится конкретная игра, а необходимо угадать, что одна из игр закончится именно таким результатом.

достаточно         варианты результатов
заполнить           игр, охваченные 
4 билета.            данным билетом 
1) 1 1 1 1 х 2       01, 02, 03, 05
2) х х х х 1 2       07, 08, 11, 12, 
3) 2 2 2 2 1 х       09, 10, 14, 15
4) 1 1 х х 2 2       04, 05, 06, 08, 09, 13

а вот как могут закончится 4 игры:

01. 1 1 1 1       06. 1 1 2 2      11. х х х х
02. 1 1 1 х       07. 1 х х х      12. х х х 2
03. 1 1 1 2       08. 1 х х 2      13. х х 2 2
04. 1 1 х х       09. 1 х 2 2      14. х 2 2 2
05. 1 1 х 2       10. 1 2 2 2      15. 2 2 2 2

[Niefer]

Заранее извиняюсь за длинный пост, мне пришлось разделить его на две части.

Теперь я не понимаю, или вы наверно никогда не играли в тотализаторе. Давайте, для прояснения вопроса я приведу пример с малым количеством вариантов - случай с 3 играми:

допустим играют три пари футбольных команд - A-B, C-d и E-F. Я договариваюсь с букмекером, что если я правильно угадаю хотя бы 2 игры из этих 3-х, я буду считаться выйгравшим. Коэффициенты (гипотетичные, но довольно близкие к к реальным) перед началом игр такие:

Игра     Коэффициенты
        1      х      2
A-B    2.3    3.1    3.3
C-D    2.5    3.2    2.2
E-F    1.9    3.0    3.9

Всех возможных вариантов 27 (3 в степени 3):

01. 111                10. х11                19. 211
02. 11х                11. х1х                20. 21х
03. 112                12. х12                21. 212
04. 1х1                13. хх1                22. 2х1
05. 1хх                14. ххх                23. 2хх
06. 1х2                15. хх2                24. 2х2
07. 121                16. х21                25. 221
08. 12х                17. х2х                26. 22х
09. 122                18. х22                27. 222

Самый простой способ, чтобы обеспечить угадывание хотя бы 2-х игр, это учитывать все возможные варианты этих 2-х игр. Таких вариантов 9 (3 в степени 2) и следовательно мне нужно заполнить 9 билетов:

01. 11
02. 1х
03. 12
04. х1
05. хх
06. х2
07. 21
08. 2х
09. 22

Итак, и заполняю 9 билетов таким образом, что учитываются все возможные варианты первых 2-х игр (A-B и C-D), а 3-ю позицию (E-F) я заполняю произвольно, допустим все единицы:

01. 111
02. 1х1
03. 121
04. х11
05. хх1
06. х21
07. 211
08. 2х1
09. 221

В любом тотализаторе есть ограничение на минимальную ставку (на максимальную тоже, но в данном случае это нас не интересует). Допустим у нас ограничение составляет 1 $. Мне надо будет поставить на каждый билет по 3 $, т.е. 9 * 3 = 27 $, так как любой из 9 билетов в действительности включает в себе 3 варианта - для примера билет #06 состоит из вариантов х2_, х_1 и _21, так как я обязался угадать 2 игры, а не все 3 одновременно. Вместо билета #06 я мог бы составить 3 билета по две иры в каждом:

06-1. х2 
06-2. х 1
06-3.  21

И эти 3 билета вместе, равнозначны билету #06. И когда я говорю, что договариваюсь с букмекером, это означает, что я заполняю 1 билет на 3 игры, вместо 3-х билетов по 2 игры в каждом. Эта никакая ни поблажка игроку, а просто экономия билетной бумаги.

[Niefer]

Начались игры, прошли 2 часа, закончились игры. Допустим все игры закончились вничью, т.е. сложилась комбинация ххх. Тогда выигрывает билет #05 - в нем угаданы результаты первых 2-х игр - и мой выигрыш составляет:
3.1 * 3.2 - 27 = - 17.08 $, т.е. умножаются коэффициенты угаданных результатов из билета #05 и отнимаются деньги на приобретение билетов. Билет то выиграл, но в финансовом смысле я потерял 17.08 $.

Теперь допустим игры закончились с результатом хх1. Тогда выигрывают сразу несколько билетов:
3.2 * 1.9 = 6.08 $ (билет #02),
3.1 * 1.9 = 5.89 $ (билет #04),
3.1 * 3.2 + 3.1 * 1.9 + 3.2 * 1.9 = 21.89 $ (билет #05), т.е. умножаются и складываются коеффициенты всех 3 угаданных результатов по-парно, а не прямолинейно (в этом случае получилось бы 3.1 * 3.2 * 1.9 = 18.85) - я же договорился угадать 2 игры, а не все 3.
3.1 * 1.9 = 5.89 $ (билет #06),
3.2 * 1.9 = 6.08 $ (билет #08).
Итого 6.08 + 5.89 + 21.89 + 5.89 + 6.08 - 27 = 18.83 $, уже серьезные деньги

Итак, нормальная сумма набырается только в случае угадывания всех 3-х игр, таких случаев 9 из 27. В остальных 18 случаях вы останетесь в проигрыше, размер проигрыша зависит от конкретных коэффициентов. Ставя таким образом 27 $, у вас есть шанс остаться в проигрыше с большой вероятностю - 2/3, 67%.

Вот чтобы уменьшить ету вероятность финансового проигрыша (я говорю уменьшить, а не исключить, потому что владельцы тотализаторов не дураки), я начал искать путь, как-бы уложиться в меньшем, чем 9, количестве билетов. После долгих раздумий я пришел к 5-билетному набору. Вот он:

01. 111
02. xx1
03. x1x
04. 1xx
05. 222

Это схема работает, вы можете проверить ее на практике, также я могу доказать ее теоретически.

Это только схема и его можно видоизменять, перемещая единицы, "х"-и и двойки при соблюдении определенных правил. Но эти изменения и есть просто изменения вида, и количество билетов от этого не уменьшается - их остается 5 и я уверен, хотя не могу доказать строго математически, что не существует набора меньше чем из 5 билетов (для 3-х игр).

Простите за длинный пост, но надеюсь, что не зря и я смог прояснить суть вопроса. Если это так, то вернемся к моему заглавному вопросу - минимальный набор билетов для 6 игр.

Исходя из условий задачи для 3-х игр, я получаю набор из 25 билетов путем простого разбивания 6 игр на две группы по 3 игры, 5 * 5 = 25.

Много лет назад я обнаружил набор из 21 билетов. Это было именно "обнаружение", а не результат теоретических суждений, потому что я не смог тогда подобрать какую-нибудь теоретическую основу под этот набор. Но это было так давно, что теперь я не уверен даже, это правда или мне приснилось только При том и тогда и сейчас я подозреваю, что должен существовать набор из 19, или даже меньше, билетов.

[IgorGO]

из всего вышесказанного мне стало понятно то, что условия я понял не правильно.
прогноз 1 1 1 х и прогноз 1 1 х 1 - это разные прогнозы.
надо угадать те только, что 3 игры закончаться победами, а одна ничьей; надо угадать какая игра каким результатом закончится, так?
допустим игры закончились так: 1 1 х 1
а билет заполнен так: 2 1 1 х 1 1
тут угадан результат или нет?

[Niefer]

1. Да, надо угадать какая игра каким результатом закончится.

2. Под играми, которые закончились так: 1 1 х 1, если вы подразумиваете первые 4 игры из 6, внесенных в билете, то вы угадали только 1 игру (2-ю), а если подразумиваете игры со 2-й по 5-й, то угаданы все 4 (2-я, 3-я, 4-я и 5-я).