[C#] Определить количество плиток замощенных внутрь круга

[Mark0111]

Лич Сандро проводит свои научные исследования в магии огня. Сандро стоит в центре огромного квадратного зала площадью миллион квадратных километров, сплошь замощённого квадратными каменными плитами со стороной один метр. По взмаху посоха вокруг Сандро возникает огненный круг радиуса R метров. Центр круга совпадает с центром зала и находится в месте соприкосновения четырёх плит. Сандро хочет посчитать, сколько плит будет испорчено огнем. Считается, что плита испорчена, если она имеет хотя бы две общие точки с кругом. На рисунке в качестве примера изображены плиты, испорченные огненным кругом радиуса 4:
В единственной строке записано целое число R > 0 — радиус огненного круга. R не превосходит 10^5.
Выведите целое число — количество испорченных плит.
Примеры:
исходные данные результат
2 16
4 60

Исходные данные
В единственной строке записано целое число R > 0 — радиус огненного круга. R не превосходит 10^5.
Результат
Выведите целое число — количество испорченных плит.
d73713f2-1dbb-4c86-9246-fbd4a16a6f14.png
По этому вопросу уже создавались темы, но они были на других языках программирования. А мне нужно на C#.
Мой код:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
 
namespace _123
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            var radius = long.Parse(Console.ReadLine());
            long counter = 0;
            long radiusInTheSquare = radius * radius;
            double katet = radius * Math.Sin(45 * Math.PI / 180);
            for (long x = 0; x < katet; x++)
            {
                var tmp = radiusInTheSquare - x * x;
                for (long y = radius - 1; y >= 0; y--)
                {
                    if (y * y < tmp)
                    {
                        counter += (y + 1 - x) * 2 - 1;
                        break;
                    }
                }
            }
            Console.WriteLine(counter * 4);
        }
    }
}

Я ищу по вертикали вверху квадрат от левого нижнего угла которого расстояние до центра окружности меньше радиуса, если нахожу то беру его и еще все квадраты которые находятся под ним и еще умножаю на два, т.к по горизонтали картина та же.
Без-имени-21.jpg

Код выдает правильный результат, но при больших числах очень долго работает. А у меня лимит в 1с. Помогите улучшить код пожалуйста!!!

[evg_m]

for (long y = radius - 1; y >= 0; y--)
                {
                    if (y * y < tmp)

≈ counter +=SQRT(tmp); // корень из данного округленный до целого

[Serge_Bliznykov]

на timus.ru в обсуждениях задачи приведён такой код (с) ace:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  __int64 x,y=0,z=0,q,p,r;
  cin>>r;
  x=r;
  q=r*r;
 while(y<r)
 {
   p=q-y*y;
    while( x*x >= p && x >= 0 )--x;
   z+=(x+1);
   y++;
 }
  z*=4;
  cout<<z;
  system("pause");
return 0;
}

думаю, что он решает вашу проблему...

[Black Fregat]

Посмотрите в сторону алгоритма Брезенхэма для окружности