вычматы, задача Коши для ОДУ, методы Рунге-Кутты

[TdS]

Здравствуйте. Не могу разобраться с задачей по вычматам на тему решение задачи Коши для ОДУ разностными методами. Дано уравнение гармонического осциллятора y"+a²y=0, начальные условия y(0)=0, y´(0)=1.
Его решение y=(1/a)sin(at). Для него выполняется закон сохранения энергии E=m/2*cos²(at)+ma²/2*(1/a²)sin²(at)=const по основному тригонометрическому тождеству (k=ma²; k, к примеру, жёсткость).
Предлагается заменить его системой y´=ax, x´=-ay. Для решения системы предлагается метод Рунге-Кутты с таблицей Бутчера
0
1 1
0,5 0,5
Надо доказать, что такой метод нарушит закон сохранения энергии.
Я в итоге получил y(n+1)=y(n)+h/2(ax(n)+ax(n+1));
x(n+1)=x(n)+h/2(-ay(n)-ay(n+1);
Тогда для величины, составленной по тому же алгоритму, что и полная энергия для точного решения получается
m/2*a²*[x(n)²+y(n)²-hx(n)ay(n+1)+hy(n)ax(n+1)]
n, n+1 - нижние индексы, h-шаг интегрирования.
Вопросы в том, почему конечное выражение не константа, правильно ли я применил методы Рунге-Кутты и почему разностные схемы для задачи Коши дают нам вроде как числа, а не функции без произвольных констант. Всем заранее спасибо.