Помогите пожалуйста написать программу на c#

[Елена2003]

Исследовать ряд на сходимость. Вывести на экран ответ: данные ряд расходится или сходится. Вывести сумму сходящегося рядом. Показать процесс сходимости/расходимости ряда. Для выполнения задания в алгоритм необходимо организовать цикл с условием окончания.

[digitalis]

Вообще-то ряд сходится. Так мы с Лазарем решили

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var s,z,n2: Extended ;i: integer ;
begin
  s:=0 ; n2 := 2.0 ;
  for i := 1 to 20 do
  begin
    z := ( i*i + 5.0 ) / n2 ;
    s := s + z ;
    Memo1.Lines.Add(Format('%2d %9.1f %9.4f %9.4f',[i,n2,z,s]) ) ;
    n2 := n2 + n2 ;
  end;
end;

 1       2,0    3,0000    3,0000
 2       4,0    2,2500    5,2500
 3       8,0    1,7500    7,0000
 4      16,0    1,3125    8,3125
 5      32,0    0,9375    9,2500
 6      64,0    0,6406    9,8906
 7     128,0    0,4219   10,3125
 8     256,0    0,2695   10,5820
 9     512,0    0,1680   10,7500
10    1024,0    0,1025   10,8525
11    2048,0    0,0615   10,9141
12    4096,0    0,0364   10,9504
13    8192,0    0,0212   10,9717
14   16384,0    0,0123   10,9839
15   32768,0    0,0070   10,9910
16   65536,0    0,0040   10,9949
17  131072,0    0,0022   10,9972
18  262144,0    0,0013   10,9984
19  524288,0    0,0007   10,9991
20 1048576,0    0,0004   10,9995

Ну а как оно там на этих тюремных решётках ## будет выглядеть - это же переводить надо. А мы - не в курсах.

[Елена2003]

digitalis, как понять ряд сходится или расходится ?

[digitalis]

Если общий член ряда становится меньше некоторой наперед заданной величины (стремится к 0), то сходится. Вот этот - асимптотически приближается к 0, его сумма - к 11.0
http://www.mathprofi.ru/ryady_dlya_chajnikov.html
Тут признаки сходимости - Коши, д'Аламбера и прочих олигархов. Я всё это уже забыл за давностью, но эксперимент в виде проги показывает: да, сходится гад!
Если чисто на пальцах: рассмотрим отношение следующего члена ряда ((n+1)^2 + 5) / 2 ^ (n+1) к предыдущему
(n^2 + 5) / 2 ^ n. Отношение числителей (n ^ 2 + 2 *n + 1 +5 ) / n ^ 2 +5 сводится к n * (n+2) / n*n, ( +1 и +5 пренебрежимо малы по сравнению с большими n ) и при больших n стремится к 1.
Отношение знаменателей = 2. Следовательно, при больших n каждый последующий меньше предыдущего почти в 2 раза (наш расчёт это и показывает), потому общий член стремится к 0. Доказано.