Я всё никак с производными и дифференциалами не могу разобраться

[Altera]

Всем привет

Есть зависимость перемещения от времени: S(t) = t^2; => S' = 2t;
S' это скорость? Мне кажется что v = t а не 2t. Объясните почему.

v = t - это средняя скорость а v = 2t - мгновенная?

[Vago]

Сообщение от Altera

Есть зависимость перемещения от времени: S(t) = t^2; => S' = 2t; S' это скорость?

Да.

Сообщение от Altera

Мне кажется что v = t

Нет.

Сообщение от Altera

Объясните почему.

Потому что скорость - это первая производная от перемещения по времени. Продифференцировали t^2 ... Ну, получили непостоянную скорость. Ну, равноускоренное движение - что напугало-то?

Сообщение от Altera

v = t - это средняя скорость

Для временнОго интервала [0,t] - да.

Сообщение от Altera

а v = 2t - мгновенная?

Да.

[Вадим Мошев]

Мне кажется что v = t а не 2t. Объясните почему.

Вот функция S(t) = t^2
По правилам нахождения производной, мы должны показатель степени вынести перед выражением, от которого берётся производная, при этом степень выражения уменьшается на единицу. То есть, если исходная функция имела вид
f(x)=x^n
То производная
f`(x)=n * x^(n-1)

[Altera]

Вадим Мошев

Я это знаю, и знаю как это получается. Я сам смысл не понимаю.

Vago

Хорошо. Но у меня возникаю вопросы с пониманием терминов и вообще, так сказать, со смыслом.

Например, дифференциалом называется отношение прироста функции к приросту аргумента?

Т.е. ( F(x+∆x) - F(x) ) / ∆x;

Производная это функция с аргументом x и ∆x стремящимся к нулю.

А чем отичается ∆x от dx?



Если v = 2t - мгновенная скорость, это значит что через 4 часа скорость будет 8. Странно как-то, мне кажется всё таки v = t; Может я тупой по ходу...

+++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++

Возьмём пример из книги: S(t) = g(t^2)/2; S'(t) = gt; Тут S'(t) - это мгновенная скорость в момент времени t?
А средняя скорость S(t) / t за время t?

[Altera]

Ладно, с этим пока понятно всё. Если будут вопросы, напишу.

[Vago]

Сообщение от Altera

Но у меня возникаю вопросы с пониманием терминов и вообще, так сказать, со смыслом.

http://reslib.com/book/Matematicheskij_analiz__tom_1

Сообщение от Altera

Производная это функция с аргументом x и ∆x стремящимся к нулю.

Предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента при стремлении последнего (приращения, а не аргумента ) к нулю.

Сообщение от Altera

А чем отичается ∆x от dx?

dx само по себе не имеет смысла. Вслед за Лейбницем, для обозначения производной принят "крючок" dy/dx. dx - просто часть этого, единого, "крючка". Просто, в Сети его часто стали использовать вместо △x (потому как "дельту" ещё найти надо )

Сообщение от Altera

Если v = 2t - мгновенная скорость, это значит что через 4 часа скорость будет 8.

Через 4 часа скорость будет 103680 км/ч Ибо, если не оговорено отдельно, время в системе СИ измеряется в секундах, а скорость- в метрах в секунду.

Сообщение от Altera

Возьмём пример из книги: S(t) = g(t^2)/2; S'(t) = gt; Тут S'(t) - это мгновенная скорость в момент времени t?

Да. (Хотя, строго говоря, S должно быть с точкой, а не со штрихом).

Сообщение от Altera

А средняя скорость S(t) / t за время t?

(v(0)+v(t))/2

[Altera]

dx само по себе не имеет смысла. Вслед за Лейбницем, для обозначения производной принят "крючок" dy/dx. dx - просто часть этого, единого, "крючка". Просто, в Сети его часто стали использовать вместо △x (потому как "дельту" ещё найти надо

А когда умнжают на dx например в интегралах?

Через 4 часа скорость будет 103680 км/ч Ибо, если не оговорено отдельно, время в системе СИ измеряется в секундах, а скорость- в метрах в секунду.

Это в честь чего, обоснуй.

Да. (Хотя, строго говоря, S должно быть с точкой, а не со штрихом).

Не понял...

(v(0)+v(t))/2

Вообще не понял...

[Sam Gold]

А чем отичается ∆x от dx?

Дифференциал(dx) это линейная функция от приращения ∆x
Например, если имеется некоторая функция y = f(x), то dy = f'(x0)∆x

[Vago]

Сообщение от Altera

А когда умнжают на dx например в интегралах?

Это - значок. Крючок. Принятое обозначение. Не более.

Сообщение от Altera

Это в честь чего, обоснуй.

Ты, для примера, написал "через 4 часа скорость будет..." Я решил в ответ побыть формалистом Повторяю - если иное не оговорено, то размерность для времени - секунды, для скорости - метры в секунду. Тогда, продолжая быть формалистом: 4 часа = 4 * 3600 с. = 14400c. Скорость к этому моменту - 28800м/с. Умножаем на 3.6 - получаем 103680 км/ч.

Сообщение от Altera

Не понял...

Традиционно в дифференциальном исчислении - S' - производная по пути. S с точкой над ним - производная по времени.

Сообщение от Altera

Вообще не понял...

Ну формулу средней скорости для равноускоренного движения посмотри в учебнике пожалуйста...

[Altera]

Ты, для примера, написал "через 4 часа скорость будет..." Я решил в ответ побыть формалистом Повторяю - если иное не оговорено, то размерность для времени - секунды, для скорости - метры в секунду. Тогда, продолжая быть формалистом: 4 часа = 4 * 3600 с. = 14400c. Скорость к этому моменту - 28800м/с. Умножаем на 3.6 - получаем 103680 км/ч.

Ты что мне мозги пудришь? Расстояние в км. Время в часах. Мгновенная скорость у нас v = 2t; Выходить что через 4 часа скорость будет 8 км/ч.

Дифференциал(dx) это линейная функция от приращения ∆x
Например, если имеется некоторая функция y = f(x), то dy = f'(x0)∆x

Ближе но всё равно не понятно. Допустим y = f(x); x = g(z); Тогда dx = g'(z);?

По ходу в интегралах мне кажется что умножают ( ∫f'(x)∙dx ) приращение функции на приращение аргумента...