Стереометрия. Помогите с задачками.

[blackstersl]

Привет всем. У меня очень страшная проблема с задачами. Завтра писать контрольную, а я вообще не знаю как решать задачи(по теме которую проходили). Я просто долгое время болел и пропустил почти весь материал. Кому не трудно и кто знает как решать, помогите пожалуйста решить 3 задачи(ход решения и как обьяснить).
1. В конус вписано шар радиусом "r" Вычислить обьём и прлощадь боковой поверхности конуса, если его образующая наклонена до площади основания под углом "alpha"
2. Ромб с острым углом "alpha" и стороной "а" вращается вокруг своей стороны . Вычислить обьём и полщадь поверхности тела вращения.
3. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена до боковой грани под углом "alpha". Вычислить обьём и площадь боковой поверхности призмы, если длина стороны основы = "а".

Заранее огромное спасибо.

[Sazary]

Уже забыл многое.. Надеюсь, нигде не ошибся.

Формулы такие:
Площадь боковой поверхности S = п * R * L
где R - радиус основания, L - длина образующей.

Объем: V = (1/3) * п * R^2 * H
где H - высота конуса.
--------------------
Проводим сечение конуса. Получаем треугольник (см. рис 1)
Нужно найти R и L
Все это выводится из формул для площади треугольника и с помощью тригонометрических формул.
Дублировать сюда не буду. Что непонятно - спрашивайте.
рис 2 - продолжение вычислений.

В итоге у меня получилось:
S = (п * r^2 * (1 + cos(alpha))^2) / cos(alpha)
V = (п * r^3 * (1 + cos(alpha))^3 * sin(alpha)) / (3 * cos(alpha))
где r - радиус шара.

[Sazary]

Вторая задача:
Есть ромб с углом альфа. Перенесем его на координатную плоскость (рис 1).
Угол между ребром и осью 0x - alpha/2.

Уравнение прямой - y = tg(alpha/2)*x

Объем находится по формуле:

V = 2 * S (tg(alpha/2)*x)^2 dx

где S - интеграл от 0 до a*cos(alpha/2)
Выходит:

V = 2 * (tg(alpha/2))^2 * S(x^3 / 3)  = (2/3) * (tg(alpha/2))^2 * a^3 * (cos(alpha/2))^3
V = (1/3) * sin(alpha) * cos(alpha/2) * a^3

-----------------
Площадь боковой поверхности:

S(бок) = 2 * (2 * п * S(tg(alpha/2)*x) * sqrt(1 + ((tg(alpha/2)*x)')^2) dx  (рис 1)

В итоге:

S(бок) = п * a^2 * sin(alpha) * sqrt(1 + (tg(alpha/2))^2)

----------
Лучше посчитайте все еще раз.. Мало ли.. Вдруг где-нибудь ошибся.

[Sazary]

И третья:
Даже пояснить нечего. Смотрите рисунок.
Высота равна
a * sqrt(2) * tg(alpha)
Находим площадь боковой грани и умножаем на 4 - это площадь боковой поверхности.
А объем - произведение высоты на площадь основания (a^2)

[blackstersl]

Я конечно извеняюсь, спасибо за проделаную работу, НО у меня на листе показаны другие отрветы. Извените, я забыл их указать в теме.
Вот посмотрите.

[Sazary]

blackstersl
Разница, как видите, только в тригонометрических функциях.
Вполне возможно, что один ответ можно выразить из другого.
Я плохо помню тригонометрию...
Вы посмотрите на ход моего решения и попробуйте сделать сами.

На счет третьей задачи:
я случайно взял угол не между диагональю и гранью, а между диагональю и основанием.
Поэтому в ответе вместо alpha должно быть (п/2 - alpha).
Но само решение верно.

-------------
upd
Извиняюсь. Не заметил, что в 3-й задаче угол между диагональю и гранью, а не ребром.

Решил заново - с ответом сошлось.

----------
Также нашел еще одну ошибку: во второй задаче не заметил, что ромб вращается вокруг стороны, а не оси ( Поэтому 2-я задача точно решена неправильно..

[Sazary]

Переделал вторую задачу.

Фигура складывается из 3-х фигур (см. рис)
два конуса и цилиндр.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей этих фигур (конусы, кстати, равны).

Объем будет равен объему цилиндра (см. рис).

Радиус основания конуса R = a*sin(alpha)

S = S(цилиндра) + 2*S(конуса)
S = 2*п*R*a + 2*п*a^2 *sin(alpha) = 4*п*a^2 * sin(alpha)

V = V(цилиндра) = п*a^3 * (sin(alpha))^2;

С ответом сошлось.

=======================
upd
И, в завершение работы над ошибками, переделал первую задачу. (рис 2)
С тем ответом, что показали вы, не сошлось. Но я практически уверен, что путем тригонометрических преобразований моего ответа его можно получить.
Уж не знаю, как они решали, что у них там через тангенсы получилось.

[blackstersl]

Спасибо большое -)