Метод Монте-Карло

[Катико]

Метод Монте-Карло
Цель: научиться определять площадь и объем геометрических фигур с помощью метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло — это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Происхождение метода Монте-Карло. Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method»). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В Советском Союзе первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956 годах.
Любопытно, что теоретическая основа метода была известна уже давно. Более того, некоторые задачи статистики решались иногда с помощью случайных выборок, то есть фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную — очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.
Пример. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S.
Это может быть совсем произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура, изображенная на рис. 1, и предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата.
Выберем в квадрате N случайных точек. Обозначим через N' число точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна отношению N'/N. Чем больше будет N, тем больше будет точность этой оценки.
Например,выбрано N=40 точек. Из них N'=12 точек оказались внутри фигуры S. Отношение N'/N=12/40=0,30, в то время как истинная площадь S равна 0,35).
Две особенности метода Монте-Карло. Первая особенность метода — простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания (в примере надо выбрать случайную точку в квадрате и проверить, принадлежит ли она S). Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов усредняются.
Поэтому иногда метод Монте-Карло называют методом статистических испытаний.
Вторая особенность метода: ошибка вычислений, как правило пропорциональна , где D – некоторая постоянная, a N – число испытаний. Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (то есть объем работы) в 100 раз.
Ясно, что добиться высокой точности на таком пути невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%).

Задание.
1.Составить программу, вычисляющую площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 30, с помощью метода Монте-Карло.
2.Составить программу для вычисления числа π для круга, вписанного в квадрат со стороной 10, с числом испытаний
n = 10;100;1000;5000;9999;15000;19999. Определить количество испытаний, при котором получается наиболее точное значение числа π. Рассчитать погрешность метода.
3.Составить программу для определения объема шара вписанного в куб со стороной 50. Определить погрешность метода.


Решите пожалуйста кто - нибудь!!!!